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高二數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納筆記
在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，大家對(duì)知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該都不陌生吧？知識(shí)點(diǎn)就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。哪些才是我們真正需要的知識(shí)點(diǎn)呢？以下是小編為大家整理的高二數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納筆記，歡迎大家分享。
分層抽樣
先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟危缓笤僭诟鱾�(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的樣本。
兩種方法
1.先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。
2.先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。
2.分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。
分層標(biāo)準(zhǔn)
(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。
(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。
(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。
分層的比例問(wèn)題
(1)按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來(lái)抽取子樣本的方法。
(2)不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門(mén)研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。
1.任意角
�。�1）角的分類：
�、侔葱D(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角。
�、诎唇K邊位置不同分為象限角和軸線角。
�。�2）終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫(xiě)成+k360（kZ）。
�。�3）弧度制：
①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。
②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零||=，l是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑。
�、塾没《茸鰡挝粊�(lái)度量角的制度叫做弧度制。比值與所取的r的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)。
�、芑《扰c角度的換算：360弧度；180弧度。
�、莼￠L(zhǎng)公式：l=||r，扇形面積公式：S扇形=lr=||r2.
2.任意角的三角函數(shù)
�。�1）任意角的三角函數(shù)定義：
設(shè)是一個(gè)任意角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin=y，cos=x，tan=，它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)。
�。�2）三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦。
3.三角函數(shù)線
設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM垂直于x軸于M。由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cos_，sin_），即P（cos_，sin_），其中cos=OM，sin=MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則tan=AT。我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線。
空間中的平行問(wèn)題
(1)直線與平面平行的判斷及其性質(zhì)
線面平行的判斷定理:如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與平面平行.
線線平行線面平行
線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一條平面平行，通過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，然后這條線與交線平行。線面平行線平行線平行
(2)平面與平面平行的判斷及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判斷定理
(1)如果一個(gè)平面中的兩條相交線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行于另一個(gè)平面
(線面平行→平行面)，(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行.
(線線平行→平行面)，(3)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.(面面平行→線面平行)
(2)如果兩個(gè)平行平面都與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行平行.(面面平行→線線平行)
等差數(shù)列
對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差，記為d；從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為Sn。
那么，通項(xiàng)公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：
將以上n—1個(gè)式子相加，便會(huì)接連消去很多相關(guān)的項(xiàng)，最終等式左邊余下an，而右邊則余下a1和n—1個(gè)d，如此便得到上述通項(xiàng)公式。
此外，數(shù)列前n項(xiàng)的和，其具體推導(dǎo)方式較簡(jiǎn)單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再?gòu)?fù)述。
值得說(shuō)明的是，前n項(xiàng)的和Sn除以n后，便得到一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以d/2為公差的新數(shù)列，利用這一特點(diǎn)可以使很多涉及Sn的數(shù)列問(wèn)題迎刃而解。
等比數(shù)列
對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，如果任意相鄰兩項(xiàng)之商（即二者的比）為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等比數(shù)列，且稱這一定值商為公比q；從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為T(mén)n。
那么，通項(xiàng)公式為（即a1乘以q的（n—1）次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想：
a2=a1x，
a3=a2x，
a4=a3x，
an=an—1x，
將以上（n—1）項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后，左邊余下an，右邊余下a1和（n—1）個(gè)q的乘積，也即得到了所述通項(xiàng)公式。
此外，當(dāng)q=1時(shí)該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=a1x
當(dāng)q≠1時(shí)該數(shù)列前n項(xiàng)的和Tn=a1x1—q^（n））/（1—q）
基本概念
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)x面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)x面內(nèi)。
公理2：如果兩個(gè)x面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。
公理3：過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)x面。
推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)x面。
推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)x面。
推論3：經(jīng)過(guò)兩條x行直線，有且只有一個(gè)x面。
公理4：x行于同一條直線的兩條直線互相x行。
等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別x行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義：
一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：
(1)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為;在整個(gè)抽樣過(guò)程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為：
(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是，逐個(gè)抽取，且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等;
(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)。
(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是不放回抽樣;它是逐個(gè)地進(jìn)行抽取;它是一種等概率抽樣
簡(jiǎn)單抽樣常用方法：
(1)抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體(共有N個(gè))編號(hào)(號(hào)碼可從1到N)，并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上(號(hào)簽可用小球、卡片、紙條等制作)，然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法。
(2)隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào);第二步，選定開(kāi)始的數(shù)字;第三步，獲取樣本號(hào)碼概率。
高二數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)歸納
1、科學(xué)記數(shù)法：將數(shù)字寫(xiě)成形式的記數(shù)法。
2、統(tǒng)計(jì)圖：生動(dòng)地表示收集到的數(shù)據(jù)圖。
3.扇形統(tǒng)計(jì)圖：用圓形和扇形表示整體和部分之間的關(guān)系。扇形大小反映了部分占整體百分比的大��；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每個(gè)部分占整體百分比等于相應(yīng)的扇形圓心角和360°的比。
4、條形統(tǒng)計(jì)圖：明確表示每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量。
5、折線統(tǒng)計(jì)圖：清楚地反映事物的變化。
6、確定事件包括：必然事件和不可能事件。
7、不確定事件：可能發(fā)生或不可能發(fā)生的事件；不確定事件發(fā)生的可能性不同；不確定。
8、事件概率：可以將事件結(jié)果除以，因此可能的結(jié)果得到理論概率。
9、有效數(shù)字：對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字到精確到的數(shù)字。
10、游戲雙方公平：雙方獲勝的可能性相同。
11.算數(shù)平均值:簡(jiǎn)稱“平均值”，最常用，受極端值影響較大；加權(quán)平均值12。中位數(shù):數(shù)據(jù)按大小排列，中間位置數(shù)，計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響較小。
13.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)受極端值影響較小，與其他數(shù)據(jù)關(guān)系不大。
平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，描繪了一組數(shù)據(jù)的“平均水平”。
15、普查：為一定目的對(duì)調(diào)查對(duì)象進(jìn)行全面調(diào)查；所有的調(diào)查對(duì)象都叫整體，每個(gè)調(diào)查對(duì)象都叫個(gè)體。
16.抽樣調(diào)查：從整體中提取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查；從整體中提取的部分個(gè)體稱為樣本（具有代表性）。
17、隨機(jī)調(diào)查：按機(jī)會(huì)平等的原則進(jìn)行調(diào)查，一般每個(gè)人被調(diào)查的概率相同。
18、頻率：每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)。
19、頻率：每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值。
20、等級(jí)差：一組數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差異，描述數(shù)據(jù)的離散程度。
21、方差：每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平均數(shù)，描述數(shù)據(jù)的離散程度。
21、標(biāo)準(zhǔn)方差：方差的算數(shù)平方根描述了數(shù)據(jù)的離散程度。
23、一組數(shù)據(jù)的等級(jí)差、方差、標(biāo)準(zhǔn)方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。
24、利用樹(shù)形圖或表格方便地找出事件發(fā)生的概率。
25.在兩個(gè)對(duì)比圖像中，坐標(biāo)軸上同一單位的長(zhǎng)度具有相同的含義，縱坐標(biāo)從0開(kāi)始繪制。
高二數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)
1.排列和計(jì)算公式
從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)一個(gè)元素按一定順序排列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)所有一個(gè)元素的排列數(shù)稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，并使用符號(hào)p(n，m)表示。
p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m 1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1)。
2.組合及計(jì)算公式
從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)一組元素被稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)所有組合的個(gè)元素?cái)?shù)稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。
用符號(hào)c(n，m)表示。
c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n，m)=c(n，n-m);
3.其他排列和組合公式
從n個(gè)元素中提取r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!。
n每個(gè)元素分為k類，每個(gè)類的數(shù)量分別為k類n1，n2...nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為
n!/(n1!_2!_.._k!)。
k類元素，每個(gè)類的數(shù)量是無(wú)限的，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m k-1，m)。
排列(Pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo)))
Pnm=n×(n-1)...(n-m 1);Pnm=n!/(n-m)!(注：！是階乘符號(hào))；Pnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!;0!=1;Pn1(n下標(biāo)1為上標(biāo))=n
組合(Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo)))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1;Cn1(n下標(biāo)1為上標(biāo))=n;Cnm=Cnn-m
高二數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)
1.任意角
(1)角分類:
①根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向的不同，可分為正角、負(fù)角、零角。
�、诟鶕�(jù)最終位置的不同，分為象限角和軸線角。
(2)終端相同的角度:
最終邊緣和角度相同的角度可以寫(xiě)成 k360(kz)。
(3)弧度制:
�、�1弧度角：將長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度角。
�、谝�(guī)定：正角弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角弧度數(shù)為零||=，l是以角作為圓心角時(shí)的圓弧長(zhǎng)度，r為半徑。
③用弧度作為單位來(lái)衡量角度的制度稱為弧度制度.比值與r的大小無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)。
�、芑《扰c角度的轉(zhuǎn)換：360弧度；180弧度。
等差數(shù)列
對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，如果任意相鄰兩項(xiàng)之差為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等差數(shù)列，且稱這一定值差為公差,記為d;從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為Sn。
那么，通項(xiàng)公式為，其求法很重要，利用了“疊加原理”的思想：
將以上n-1個(gè)式子相加，便會(huì)接連消去很多相關(guān)的項(xiàng)，最終等式左邊余下an,而右邊則余下a1和n-1個(gè)d,如此便得到上述通項(xiàng)公式。
此外，數(shù)列前n項(xiàng)的和，其具體推導(dǎo)方式較簡(jiǎn)單，可用以上類似的疊加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再?gòu)?fù)述。
值得說(shuō)明的是，前n項(xiàng)的和Sn除以n后，便得到一個(gè)以a1為首項(xiàng)，以d/2為公差的新數(shù)列，利用這一特點(diǎn)可以使很多涉及Sn的數(shù)列問(wèn)題迎刃而解。
等比數(shù)列
對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，如果任意相鄰兩項(xiàng)之商(即二者的比)為一個(gè)常數(shù)，那么該數(shù)列為等比數(shù)列，且稱這一定值商為公比q;從第一項(xiàng)a1到第n項(xiàng)an的總和，記為T(mén)n。
那么，通項(xiàng)公式為(即a1乘以q的(n-1)次方，其推導(dǎo)為“連乘原理”的思想：
a2=a1_,
a3=a2_,
a4=a3_,
````````
an=an-1_,
將以上(n-1)項(xiàng)相乘，左右消去相應(yīng)項(xiàng)后，左邊余下an,右邊余下a1和(n-1)個(gè)q的乘積，也即得到了所述通項(xiàng)公式。
此外，當(dāng)q=1時(shí)該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn=a1_
當(dāng)q≠1時(shí)該數(shù)列前n項(xiàng)的和Tn=a1_1-q^(n))/(1-q).
一、不等式的性質(zhì)
1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系
2.不等式的性質(zhì)
4乘法單調(diào)性
3.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)
2如果a>0，那么
3|a?b|=|a|?|b|.
5|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
6|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
二、不等式的證明
1.不等式證明的依據(jù)
2不等式的性質(zhì)略
3重要不等式：①|(zhì)a|≥0;a2≥0;a-b2≥0a、b∈R
�、赼2+b2≥2aba、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)
2.不等式的證明方法
1比較法：要證明a>ba0a-bgx①與fx>gx或fxagx與fx>gx同解，當(dāng)0agx與fx
平方關(guān)系：
sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α
積的關(guān)系：
sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα
倒數(shù)關(guān)系：
tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1
商的關(guān)系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα
直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對(duì)邊比鄰邊,·[1]三角函數(shù)恒等變形公式
·兩角和與差的三角函數(shù)：
cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβsinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβtanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβtanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ
·三角和的三角函數(shù)：
sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα
·輔助角公式：
Asinα+Bcosα=A2+B2^1/2sinα+t，其中sint=B/A2+B2^1/2cost=A/A2+B2^1/2tant=B/AAsinα-Bcosα=A2+B2^1/2cosα-t，tant=A/B
·倍角公式：
sin2α=2sinα·cosα=2/tanα+cotαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αtan2α=2tanα/[1-tan2α]
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin3α=4sinα·sin60+αsin60-αcos3α=4cos3α-3cosα=4cosα·cos60+αcos60-αtan3α=tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a
·半角公式：
sinα/2=±√1-cosα/2cosα/2=±√1+cosα/2tanα/2=±√1-cosα/1+cosα=sinα/1+cosα=1-cosα/sinα
·降冪公式
sin2α=1-cos2α/2=versin2α/2cos2α=1+cos2α/2=covers2α/2tan2α=1-cos2α/1+cos2α
·萬(wàn)能公式：
sinα=2tanα/2/[1+tan2α/2]cosα=[1-tan2α/2]/[1+tan2α/2]tanα=2tanα/2/[1-tan2α/2]
·積化和差公式：
sinα·cosβ=1/2[sinα+β+sinα-β]
cosα·sinβ=1/2[sinα+β-sinα-β]
cosα·cosβ=1/2[cosα+β+cosα-β]
sinα·sinβ=-1/2[cosα+β-cosα-β]
·和差化積公式：
sinα+sinβ=2sin[α+β/2]cos[α-β/2]sinα-sinβ=2cos[α+β/2]sin[α-β/2]cosα+cosβ=2cos[α+β/2]cos[α-β/2]cosα-cosβ=-2sin[α+β/2]sin[α-β/2]
·推導(dǎo)公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos2α
1-cos2α=2sin2α
1+sinα=sinα/2+cosα/22
·其他：
sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]=0
cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]=0以及
sin2α+sin2α-2π/3+sin2α+2π/3=3/2
tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx
證明：
左邊=2sinxcosx+cos2x+...+cosnx/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sinn-2x+sinn+1x-sinn-1x]/2sinx積化和差
=[sinn+1x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊
等式得證
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx
證明:
左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/-2sinx
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cosn-2x+cosn+1x-cosn-1x]/-2sinx
=- [cosn+1x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊
等式得證
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
公式一：
設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin2kπ+α=sinα
cos2kπ+α=cosα
tan2kπ+α=tanα
cot2kπ+α=cotα
公式二：
設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sinπ+α=-sinα
cosπ+α=-cosα
tanπ+α=tanα
cotπ+α=cotα
公式三：
任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin-α=-sinα
cos-α=cosα
tan-α=-tanα
cot-α=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sinπ-α=sinα
cosπ-α=-cosα
tanπ-α=-tanα
cotπ-α=-cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin2π-α=-sinα
cos2π-α=cosα
tan2π-α=-tanα
cot2π-α=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sinπ/2+α=cosα
cosπ/2+α=-sinα
tanπ/2+α=-cotα
cotπ/2+α=-tanα
sinπ/2-α=cosα
cosπ/2-α=sinα
tanπ/2-α=cotα
cotπ/2-α=tanα
sin3π/2+α=-cosα
cos3π/2+α=sinα
tan3π/2+α=-cotα
cot3π/2+α=-tanα
sin3π/2-α=-cosα
cos3π/2-α=-sinα
tan3π/2-α=cotα
cot3π/2-α=tanα
以上k∈Z
對(duì)于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證明:
已知A+B=π-C
所以tanA+B=tanπ-C
則tanA+tanB/1-tanAtanB=tanπ-tanC/1+tanπtanC
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
類似地,我們同樣也可以求證:當(dāng)α+β+γ=nπn∈Z時(shí)，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
設(shè)a=x，y，b=x"，y"。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=x+x"，y+y"。
a+0=0+a=a。
向量加法的運(yùn)算律：
交換律：a+b=b+a;
結(jié)合律：a+b+c=a+b+c。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”
a=x,y b=x",y"則a-b=x-x",y-y".
4、數(shù)乘向量
實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a同方向;
當(dāng)λ1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向λ>0或反方向λ
一、集合概念
(1)集合中元素的特征:確定性，互異性，無(wú)序性。
(2)集合與元素的關(guān)系用符號(hào)=表示。
(3)常用數(shù)集的符號(hào)表示:自然數(shù)集;正整數(shù)集;整數(shù)集;有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集。
(4)集合的表示法:列舉法，描述法，韋恩圖。
(5)空集是指不含任何元素的集合。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
函數(shù)
一、映射與函數(shù):
(1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函數(shù)的概念:
二、函數(shù)的三要素:
相同函數(shù)的判斷方法:①對(duì)應(yīng)法則;②定義域(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
(1)函數(shù)解析式的求法:
�、俣x法(拼湊):②換元法:③待定系數(shù)法:④賦值法:
(2)函數(shù)定義域的求法:
①含參問(wèn)題的定義域要分類討論;
�、趯�(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求出函數(shù)解析式后;必須求出其定義域，此時(shí)的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來(lái)確定。
(3)函數(shù)值域的求法:
�、倥浞椒�:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值;常轉(zhuǎn)化為型如:的形式;
②逆求法(反求法):通過(guò)反解，用來(lái)表示，再由的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出的取值范圍;常用來(lái)解，型如:;
�、軗Q元法:通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想;
�、萑怯薪绶�:轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域;
�、藁静坏仁椒�:轉(zhuǎn)化成型如:，利用平均值不等式公式來(lái)求值域;
�、邌握{(diào)性法:函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑧數(shù)形結(jié)合:根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域。
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性:定義:注意定義是相對(duì)與某個(gè)具體的區(qū)間而言。
判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)
導(dǎo)數(shù)法(適用于多項(xiàng)式函數(shù))
復(fù)合函數(shù)法和圖像法。
應(yīng)用:比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性:定義:注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，比較f(x)與f(-x)的關(guān)系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為偶函數(shù);
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)為奇函數(shù)。
判別方法:定義法，圖像法，復(fù)合函數(shù)法
應(yīng)用:把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。
周期性:定義:若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足:f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。
其他:若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應(yīng)用:求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。
四、圖形變換:函數(shù)圖像變換:(重點(diǎn))要求掌握常見(jiàn)基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。
常見(jiàn)圖像變化規(guī)律:(注意平移變化能夠用向量的語(yǔ)言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來(lái)思考)
平移變換y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意:(ⅰ)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如:把函數(shù)y=f(2x)經(jīng)過(guò)平移得到函數(shù)y=f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會(huì)結(jié)合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意義。
對(duì)稱變換y=f(x)→y=f(-x),關(guān)于y軸對(duì)稱
y=f(x)→y=-f(x),關(guān)于x軸對(duì)稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱。(注意:它是一個(gè)偶函數(shù))
伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。
一個(gè)重要結(jié)論:若f(a-x)=f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;
(1)定義:
(2)函數(shù)存在反函數(shù)的條件:
(3)互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系:
(4)求反函數(shù)的步驟:①將看成關(guān)于的方程，解出，若有兩解，要注意解的選擇;②將互換，得;③寫(xiě)出反函數(shù)的定義域(即的值域)。
(5)互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系:
(6)原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性;
(7)原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù);原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。
七、常用的初等函數(shù):
(1)一元一次函數(shù):
(2)一元二次函數(shù):
一般式
兩點(diǎn)式
頂點(diǎn)式
二次函數(shù)求最值問(wèn)題:首先要采用配方法，化為一般式，有三個(gè)類型題型:
(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如:
(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動(dòng))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外。
(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù).
等價(jià)命題在區(qū)間上有兩根在區(qū)間上有兩根在區(qū)間或上有一根
注意:若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令和檢查端點(diǎn)的情況。
(3)反比例函數(shù):
(4)指數(shù)函數(shù):
指數(shù)函數(shù):y=(a>o,a≠1)，圖象恒過(guò)點(diǎn)(0，1)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0
(5)對(duì)數(shù)函數(shù):
對(duì)數(shù)函數(shù):y=(a>o,a≠1)圖象恒過(guò)點(diǎn)(1，0)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對(duì)a分a>1和0
排列組合公式/排列組合計(jì)算公式
排列P——————和順序有關(guān)
組合C———————不牽涉到順序的問(wèn)題
排列分順序，組合不分
例如把5本不同的書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法。"排列"
把5本書(shū)分給3個(gè)人，有幾種分法"組合"
1.排列及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p（n，m）表示。
p（n，m）=n（n—1）（n—2）……（n—m+1）=n！/（n—m）�。ㄒ�(guī)定0！=1）。
2.組合及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)
c（n，m）表示。
c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（n—m）！xm�。籧（n，m）=c（n，n—m）；
3.其他排列與組合公式
從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。
n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1，n2，..nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為n！/（n1！xn2！x..xnk�。�。
k類元素，每類的個(gè)數(shù)無(wú)限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c（m+k—1，m）。
排列（Pnm（n為下標(biāo)，m為上標(biāo)））
Pnm=n×（n—1）....（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）�。ㄗⅲ海∈请A乘符號(hào)）；Pnn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=n�。�0！=1；Pn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n
組合（Cnm（n為下標(biāo)，m為上標(biāo)））
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m�。╪—m）�。籆nn（兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo)）=1；Cn1（n為下標(biāo)1為上標(biāo)）=n；Cnm=Cnn—m
20__—07—0813：30
公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N—元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)！—階乘，如9！=9x8x7x6x5x4x3x2x1
從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為nx（n—1）x（n—2），（n—r+1）；
因?yàn)閺膎到（n—r+1）個(gè)數(shù)為n—（n—r+1）=r
舉例：
Q1：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問(wèn)，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？
A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。
上問(wèn)題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9—1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9—1—1種可能，最終共有9x8x7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式=P（3，9）=9x8x7，（從9倒數(shù)3個(gè)的乘積）
Q2：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問(wèn)，如果三個(gè)一組，代表“三國(guó)聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？
A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。
上問(wèn)題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C（3，9）=9x8x7/3x2x1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組。
�。�1）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；
�。�2）每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同同方法？
解（1）由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法。
�。�2）由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。
點(diǎn)評(píng)由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問(wèn)都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算。
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫(huà)“樹(shù)圖”的方式逐一排出：
∴符合題意的不同排法共有9種。
點(diǎn)評(píng)按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理。為把握不同排法的規(guī)律，“樹(shù)圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)模型。
例3判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？并計(jì)算出結(jié)果。
�。�1）高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：
�、倜�?jī)扇嘶ネㄒ环庑�，共通了多少封信�?/p>
�、诿�?jī)扇嘶ノ樟艘淮问�，共握了多少次手�?/p>
�。�2）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：
�、�?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？
（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：
�、�?gòu)闹腥稳蓚�(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？
�、趶闹腥稳蓚�(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？
�。�4）有8盆花：①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析（1）①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问�，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題。其他類似分析。
（1）①是排列問(wèn)題，共用了封信；
②是組合問(wèn)題，共需握手（次）。
�。�2）①是排列問(wèn)題，共有（種）不同的選法；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的選法。
�。�3）①是排列問(wèn)題，共有種不同的商；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的積。
�。�4）①是排列問(wèn)題，共有種不同的選法；
�、谑墙M合問(wèn)題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
∴等式成立。
點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問(wèn)題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。
例5化簡(jiǎn)。
解法一原式
解法二原式
點(diǎn)評(píng)解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過(guò)程得以簡(jiǎn)化。
例6解方程：（1）；（2）。
解（1）原方程
解得。
（2）原方程可變?yōu)?/p>
∵，∴原方程可化為。
即，解得
第六章排列組合、二項(xiàng)式定理
一、考綱要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和論證一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
二、知識(shí)結(jié)構(gòu)
三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示
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說(shuō)明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問(wèn)題提供了理論根據(jù)。
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