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    《垂直于弦的直徑》的課程教學(xué)設(shè)計(jì)

    時(shí)間:2021-06-17 15:56:51 教學(xué)設(shè)計(jì) 我要投稿

    《垂直于弦的直徑》的課程教學(xué)設(shè)計(jì)

      第一課時(shí) (一)

    《垂直于弦的直徑》的課程教學(xué)設(shè)計(jì)

      教學(xué)目標(biāo) :

     。1)理解圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理的推證過(guò)程;能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算和證明;

      (2)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;

     。3)通過(guò)圓的對(duì)稱性,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀,并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)。

      教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

      重點(diǎn):

     、俅箯蕉ɡ砑皯(yīng)用;

      ②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力。

      難點(diǎn):垂徑定理的證明。

      教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì):

      (一)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),提出問(wèn)題:

      1、實(shí)驗(yàn):讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱性,教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn):圓具有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)不變性。

      2、提出問(wèn)題:老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。

      通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)觀察感性理性引出垂徑定理。

      (二)垂徑定理及證明:

      已知:在⊙O中,CD是直徑,AB是弦,CDAB,垂足為E。

      求證:AE=EB, =, =。

      證明:連結(jié)OA、OB,則OA=OB。又∵CDAB,直線CD是等腰△OAB的對(duì)稱軸,又是⊙O的對(duì)稱軸。所以沿著直徑CD折疊時(shí),CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,A點(diǎn)和B點(diǎn)重合,AE和BE重合, 、 分別和 、 重合。因此,AE=BE, =, =。從而得到圓的一條重要性質(zhì)。

      垂徑定理:平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

      組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論:

      CD為⊙O的直徑,CDAB AE=EB,

      為了運(yùn)用的方便,不易出現(xiàn)錯(cuò)誤,將原定理敘述為:

     、龠^(guò)圓心;

     、诖怪庇谙遥

     、燮椒窒;

      ④平分弦所對(duì)的優(yōu);

     、萜椒窒宜鶎(duì)的劣弧。

      加深對(duì)定理的理解,突出重點(diǎn),分散難點(diǎn),避免學(xué)生記混。

      (三)應(yīng)用和訓(xùn)

      例1、已知在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑。

      分析:要求⊙O的半徑,連結(jié)OA,只要求出OA的長(zhǎng)就可以了,因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)O到AB的距離為3cm,所以作OEAB于E,而AE=EB= AB=4cm。此時(shí)解Rt△AOE即可。

      解:連結(jié)OA,作OEAB于E。

      則AE=EB。

      ∵AB=8cm,AE=4cm。

      又∵OE=3cm,

      在Rt△AOE中,

     。╟m)。

      ⊙O的半徑為5 cm。

      說(shuō)明:①學(xué)生獨(dú)立完成,老師指導(dǎo)解題步驟;②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算:涉及四條線段的長(zhǎng):弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)

      關(guān)系:r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2

      例2、 已知:在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)。求證AC=BD。(證明略)

      說(shuō)明:此題為基礎(chǔ)題目,對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成。

      練習(xí)1:教材P78中練習(xí)1,2兩道題。由學(xué)生分析思路,學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流。

      指導(dǎo)學(xué)生歸納:①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形,垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法;②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線弦心距。

      (四)小節(jié)與反思

      教師組織學(xué)生進(jìn)行:

      知識(shí):

     。1)圓的軸對(duì)稱性;

     。2)垂徑定理及應(yīng)用。

      方法:

     。1)垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法,構(gòu)造直角三角形;

     。2)在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線弦心距;

      (3)為了更好理解垂徑定理,一條直線只要滿足

     、龠^(guò)圓心;

     、诖怪庇谙;則可得

      ③平分弦;

      ④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;

      ⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

      (五)作業(yè)

      教材P84中11、12、13。

      第二課時(shí) (二)

      教學(xué)目標(biāo) :

     。1)使學(xué)生掌握垂徑定理的兩個(gè)推論及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用;

      (2)通過(guò)對(duì)推論的探討,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,概括問(wèn)題的能力。促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造思維水平的發(fā)展和提高

     。3)滲透一般到特殊,特殊到一般的辯證關(guān)系。

      教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):

      重點(diǎn):

     、俅箯蕉ɡ淼膬蓚(gè)推論;

     、趯(duì)推論的探究方法。

      難點(diǎn):垂徑定理的推論1。

      學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

      (一)分解定理(對(duì)定理的剖析)

      1、復(fù)習(xí)提問(wèn):定理:平分這條弦,并且平分弦所對(duì)應(yīng)的兩條弧。

      2、剖析:

     。ń處熤笇(dǎo))

      (二)新組合,發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題:(A層學(xué)生自己組合,小組交流,B層學(xué)生老師引導(dǎo))

     。òㄔɡ,一共有10種)

      (三)探究新問(wèn)題,歸納新結(jié)論:

     。1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧。

     。2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦對(duì)應(yīng)的兩條弧。

      (3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

      (4)圓的兩條平行線所夾的弧相等。

      (四)鞏固練習(xí):

      練習(xí)1、平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧這句話對(duì)嗎?為什么?

     。ㄔ谕普1(1)中,為什么要附加不是直徑這一條件。)

      練習(xí)2、填空:在⊙O中,

     。1)若MNAB,MN為直徑,則________,________,________;

     。2)若AC=BC,MN為直徑,AB不是直徑,則則________,________,________;

     。3)若MNAB,AC=BC,則________,________,________;

     。4)若 =,MN為直徑,則________,________,________。

      (此題目的:鞏固定理和推論)

      (五)應(yīng)用、反思

      例、四等分 。

      (A層學(xué)生自主完成,對(duì)于其他層次的學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成)

      教材P80中的第3題圖,是典型的錯(cuò)誤作。

      此題目的:是引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用定理及推論來(lái)平分弧的方法,通過(guò)學(xué)生自主操作培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力;通過(guò)與教材P80中的第3題圖的對(duì)比,加深學(xué)生對(duì)感性知識(shí)的認(rèn)識(shí)及理性知識(shí)的理解。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

      (六)小結(jié):

      知識(shí):垂徑定理的兩個(gè)推論。

      能力:

      ①推論的研究方法;

     、谄椒只〉淖鲌D。

      (七)作業(yè) :

      第三課時(shí)

      垂徑定理及推論在解題中的應(yīng)用

      教學(xué)目的:

     、乓髮W(xué)生掌握垂徑定理及其推論,會(huì)解決有關(guān)的證明,計(jì)算問(wèn)題。

      ⑵培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰;提高學(xué)生方程思想、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用意識(shí)。

     、峭ㄟ^(guò)例4(趙州橋)對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的教育;并向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,又反過(guò)來(lái)服務(wù)于實(shí)踐的辯證唯物主義思想

      教學(xué)重點(diǎn):垂徑定理及其推論在解題中的應(yīng)用

      教學(xué)難點(diǎn) :如何進(jìn)行輔助線的添加

      教學(xué)內(nèi)容:

      (一)復(fù)習(xí)

      1垂徑定理及其

      推論1:對(duì)于一條直線和一個(gè)圓來(lái)說(shuō),具備下列五個(gè)條件中的任何個(gè),那么也具有其他三個(gè):

      ⑴ 直線過(guò)圓心 ;

     、 垂直于弦 ;

     、 平分弦 ;

      ⑷ 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 ;

     、 平分弦所對(duì)的劣弧?珊(jiǎn)記為:知2推3

      推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

      2應(yīng)用垂徑定理及其推論計(jì)算(這里不管什么層次的學(xué)生都要自主研究)

      涉及四條線段的長(zhǎng):弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系:r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2

      3常添加的輔助線:(學(xué)生歸納)

      ⑴ 作弦心距 ;

     、 作半徑 !獦(gòu)造直角三角形

      4可用于證明:線段相等、弧相等、角相等、垂直關(guān)系;同時(shí)為圓中的計(jì)算、作圖提供依據(jù)。

     。ǘ⿷(yīng)用例題:(讓學(xué)生分析,交流,解答,老師引導(dǎo)學(xué)生歸納)

      例1、1300多年前,我國(guó)隋代建造的趙州石拱橋的`橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4米,拱高(弧中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形的高)為7.2米,求橋拱的半徑(精確到0.1米)。

      說(shuō)明:

     、賹(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的教育;

      ②應(yīng)用題的解題思路:實(shí)際問(wèn)題(轉(zhuǎn)化,構(gòu)造直角三角形)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

      例2、已知:⊙O的半徑為5 ,弦AB∥CD ,AB =6 ,CD =8 。求:AB與CD間的距離。(讓學(xué)生畫(huà)圖)

      解:分兩種情況:

      (1)當(dāng)弦AB、CD在圓心O的兩側(cè)

      過(guò)點(diǎn)O作EFAB于E,連結(jié)OA、OC,

      又∵AB∥CD,EFCD。(作輔助線是難點(diǎn),學(xué)生往往作OEAB,OFAB,就得EF=OE+OF,錯(cuò)誤的結(jié)論)

      由EF過(guò)圓心O,EFAB,AB =6,得AE=3,

      在Rt△OEA中,由勾股定理,得

      同理可得:OF=3

      EF=OE+OF=4+3=7。

     。2)當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)

      同(1)的方法可得:OE=4,OF=3。

      說(shuō)明:

     、俅祟}主要是滲透分類(lèi)思想,培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密性思維和解題方法:確定圖形分析圖形數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題;

     、谂囵B(yǎng)學(xué)生作輔助線的方法和能力。

      例3、 已知:AB是⊙O的弦,半徑OC∥AB ,AB=24 ,OC =15 。求:BC的長(zhǎng)。

      解:(略,過(guò)O作OEAE于E ,過(guò)B作BFOC于F ,連結(jié)OB。BC =)

      說(shuō)明:通過(guò)添加輔助線,構(gòu)造直角三角形,并把已知與所求線段之間找到關(guān)系。

      (三)應(yīng)用訓(xùn)練:

      P8l中1題。

      在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后。截面如圖所示,若油面寬AB=600mm,求油的最大深度。

      學(xué)生分析,教師適當(dāng)點(diǎn)撥。

      分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構(gòu)造直角三角形,然后利用垂徑定理和勾股定理來(lái)解決。

      (四)小結(jié):

      1 垂徑定理及其推論的應(yīng)用注意指明條件。

      2 應(yīng)用定理可以證明的問(wèn)題;注重構(gòu)造思想,方程思想、分類(lèi)思想在解題中的應(yīng)用。

      (五)作業(yè) :教材P84中15、16題,P85中B組2、3題。

      探究活動(dòng)

      直線MN與⊙O交于點(diǎn)A、B,CD是⊙O的直徑,CEMN于E,DFMN于F,OHMN于H。

     。1)線段AE、BF之間存在怎樣的關(guān)系?線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由。

     。2)當(dāng)直線CD的兩個(gè)端點(diǎn)在MN兩側(cè)時(shí),上述關(guān)系是否仍能成立?如果不成立,它們之間又有什么關(guān)系?并說(shuō)明理由。

     。ù鸢柑崾荆海1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之間應(yīng)滿足)

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