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    狄利克雷函數(shù)為什么是周期函數(shù)
    
            
            
    回答
    
            
    
                
                瑞文問(wèn)答
                
    2024-07-11
            
    
            
    
                狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)證明：取T為任意一個(gè)確定的有理數(shù)，則當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)f(x)=1，且x+T是有理數(shù)，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，f(x)=0，且x+T是無(wú)理數(shù)，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)。 
            
    
            
            
    擴(kuò)展資料
    
            
    　　證明過(guò)程：
    　　狄利克雷函數(shù)即f(x)=1(當(dāng)x為有理數(shù)）；f(x)=0(當(dāng)x為無(wú)理數(shù)）；而周期函數(shù)的定義是對(duì)任意x，若f(x)=f(x+T)，則f(x)是周期為T(mén)的周期函數(shù)。
    　　顯然，取T為任意一個(gè)確定的有理數(shù)，則當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)f(x)=1，且x+T是有理數(shù)，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，f(x)=0，且x+T是無(wú)理數(shù)，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。綜上，狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，其周期可以是任意個(gè)有理數(shù)，所以沒(méi)有最小正周期。