雙曲線在高中數(shù)學(xué)中是一大考點(diǎn)，那么雙曲線知識(shí)點(diǎn)又有什么重點(diǎn)呢?下面雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)是小編為大家?guī)淼模Ｍ麑?duì)大家有所幫助。
雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、用好雙曲線的對(duì)稱性
例1 若函數(shù)y=kx(k>0)與函數(shù)y=的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，AB⊥x軸于B。則△ABC的面積為( )。
A。1 B。2 C。3 D。4
解：由A在雙曲線y=上，AB⊥x軸于B。
∴S△ABO=×1=
又由A、B關(guān)于O對(duì)稱，S△CBO= S△ABO=
∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1 故選(A)
二、正確理解點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義
例2 如圖，反比例函數(shù)y=-與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則S△AOB= 。
解：由y=-x+2交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N
M點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2) ∴OM=2，ON=2
由 解得或
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，4)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，-2)
S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM
=ON·+OM·ON+OM·=6
(或S△AOB=S△AOM+S△BOM=OM·+OM·=6)
三、注意分類討論
例3 如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=(k>0，x>0)的圖象上。點(diǎn)P(m、n)是函數(shù)函數(shù)y=上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線。垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S。
⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)和k值。
⑵當(dāng)S=時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：⑴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，B在函數(shù)y=(k>0，x>0)的圖象上，∴S正方形OABC= x0y0=9，∴x0=y0=3
即點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，3)，k= x0y0=9
�、脾佼�(dāng)P在B點(diǎn)的下方(m>3)時(shí)。
設(shè)AB與PF交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)P(m、n)是函數(shù)函數(shù)y=上，
∴S四邊形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n
∴S=9-3n=，解得n=。當(dāng)n=時(shí)，=，即m=6
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，)
�、诋�(dāng)P在B點(diǎn)的上方(m<3)時(shí)。 同理可解得：P1點(diǎn)的坐標(biāo)為(，6)
∴當(dāng)S=時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，)或(，6)。
四、善用“割補(bǔ)法”
例4 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A(1，4)，B(3，m)兩點(diǎn)。
�、徘笠淮魏瘮�(shù)解析式;⑵求△AOB的面積。
解：⑴由A(1，4)，在y=的圖象上，∴k2=xy=4
B(3，m)在y=的圖象上，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，)
A(1，4)、B(3，)在一次函數(shù)y=k1x+b的圖象上，
可求得一次函數(shù)解析式為：y=-x+。
�、圃O(shè)一次函數(shù)y=-x+交x軸于M，交y軸于N(如圖)。則M(4，0)，N(0，)
S△AOB=S△MON-S△OBM-S△AON=OM·ON—OM-ON
=×4×-×4×-××1=
五、構(gòu)造特殊輔助圖形
例5 如圖，已知直線y=x與雙曲線y=(k>0)交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4。⑴求k的值;⑵若雙曲線y=(k>0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積。⑶過原點(diǎn)O的另一條直線交雙曲線y=(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)ABPQ為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
解：⑴A橫坐標(biāo)為4，在直線y=x上，A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)
A(4，2)又在y=上，∴k=4×2=8
�、艭的縱坐標(biāo)為8，在雙曲線y=上，C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)
過A、C分別作x軸、y軸垂線，垂足為M、N，且相交于D，則得矩形ONDM。S矩形ONDM=4×8=32。
又S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4
∴S△AOC= S矩形ONDM―S△ONC―S△CDA―S△OAM=32―4―9―4=15
⑶由反比例函數(shù)圖象是中心對(duì)稱圖形，OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形。S△POA=S四邊形APBQ=6
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，)，過P、A分別作x軸、y軸垂線，垂足為E、M。
∴S△POE=S△AOM=k=4
�、偃�0
∵S△PEO+S梯形PEMA=S△POA+S△AOM，∴S梯形PEMA=S△POA=6
∴(2+)(4-m)=6 解得m=2或m=-8(舍去) P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，4)
�、谌鬽>4時(shí)，同理可求得m=8或m=-2(舍去)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，1)